A régi római katolikus nemesi származású verbói Szluha családnak a sarja. Apja verbói Szluha Benedek (1912–1946), huszár főhadnagy, gazdasági felügyelő, anyja haraszti Bernolák Erzsébet (1913–1985) volt. Az apai nagyszülei verbói Szluha Dénes (1879–1945), huszár kapitány, cecei földbirtokos, és lovasi Szakall Ilona (1880–1960) voltak. Az anyai nagyszülei haraszti Bernolák Nándor (1880–1951), jogász, a Bethlen-kormány népjóléti minisztere, politikus, egyetemi tanár és Antalffy-Zsíros Erzsébet (1886–1965) voltak.[3][4] Szuhay/Szluha Balázsnak távoli rokona Szluha Márton (1935–2016) magyar genealógus, eredetileg építészmérnök, a Magyar Történelmi Családok Egyesülete (MTCSE) tagja. Apja városházi tisztviselő volt, aki közvetlenül a háború után, 34 évesen meghalt. A két gyereket, Balázst és öccsét ettől kezdve anyjuk nevelte. Az elemi iskolát a piaristáknál kezdte, a 8. osztályt az államosítás után már egy körzeti általános iskolában végezte el. Polgári származása miatt állami középiskolába nem vették föl, így a Fasori Evangélikus Gimnáziumban folytatta tanulmányait. 1951 nyarán a családot kitelepítették Taktaszadára, ’53-ban térhettek vissza Budapestre. Ekkortól tanulmányait a Toldy Ferenc Gimnáziumban folytatta. A középiskolával párhuzamosan Rózsahegyi Kálmán színiiskoláját is elvégezte, ahol többek között Hofi, Sztankay és Sas József voltak évfolyamtársai. Pályáját 1955-ben a békéscsabai Jókai Színházban kezdte mint segédszínész. 1957-től már rendes színészként lépett fel a kecskeméti Katona József Színházban, majd a Vidám Színpadon, melynek 1960-tól 1992-ig oszlopos tagja volt és ahonnan a Mikroszkópba is gyakran átjárt játszani. Kabarédarabok és vígjátékok írásával is foglalkozott, számait, villámtréfáit, jeleneteit többnyire maga írta. Kiváló parodista volt. A rendszerváltást követő években jobboldali konzervatív politikai szerepet vállalt, 1992-ben pedig – túl az első infarktusán – egy évre a Ludas Matyi főszerkesztője lett, miután Árkus József és csapata nem tudta továbbvinni az eredeti lap Új Ludas c. folytatását. Szuhay így írt a Ludasban, ’92-ben